指标是一些对于已有市场数据的处理，因此不能表明未来的市场行情，仅能作为一个用于判断将来可能的趋势的判据，具体操作时需要自行研判行情。 本文介绍MA指标，以及衍生的EMA等指标，并介绍其常见的用法（金叉、死叉）。

信号处理中的指标

从信号处理的角度来看，市场数据是一种时序信号，移动平均线（MA）本质上是一类时域滤波器，用于对金融时间序列（价格信号）进行平滑处理，提取趋势成分并抑制噪声。通常情况下，我们使用的市场数据以时间为间隔，例如股市中常以交易日作为时间间隔，在加密市场中使用5min作为一个时间间隔，其open、high、low、close数据分别构成了一个离散信号。这个信号可以使用$x[n]$来表示时间（即只考虑相对时间，而不考虑绝对时间）。

MA通用模型

所有MA类型都可以视为一个线性时不变系统（LTI），其输出是输入信号的加权和： $$y[n] = \sum_{k=0}^{N-1}h[k]\cdot x[n-k]$$ 其中：

• $x[n]$表示输入信号（价格时序信号）
• $y[n]$表示输出信号（MA时序信号）
• $h[k]$表示系统冲激相应（权重系数）
• $N$表示时间窗口长度（周期）

由此可以看到，不同MA类型的主要区别在于权重系数$h[k]$的分配方式上。

SMA简单移动平均

$$x_{SMA}[n] = \frac1N\sum^{N-1}_{k=0} x[n-k]$$

这是一个矩形窗口滤波器，其冲激响应为

$$ h_{SMA}[k] = \begin{cases} \frac{1}{N} &, 0 \le k \le N \ 0 &, \text{other} \ \end{cases} $$

这个滤波器的本质是一个低通滤波器，其幅频响应如下，其截至频率为$f_c \approx \frac{0.443}N$

其群延迟为$\frac{N-1}2$个样本，因此SMA具有滞后性。

SMA是一段样本的平均值，使曲线变得平滑。

EMA指数移动平均

$$h_{EMA}[k] = \alpha (1-\alpha)^k, k>0$$ 其中$\alpha$表示平滑因子，通常$\alpha = \frac1{N+1}$，$\alpha$越小，曲线越平滑。这是一个指数衰减的滤波器。

其等价的递归数学表达式为： $$x_{EMA}[n] = \alpha \cdot x[n]+(1−\alpha)\cdot x_{EMA}​[n−1]$$

WMA加权移动平均

$$h_{WMA}[k] = \frac{2(N-k)}{N(N+1)}, 0\le k<N$$

即一个三角窗型滤波器，其频率响应是SMA的自卷积，即$sinc^2$，图像上看主瓣更窄，旁瓣衰减更快，因此过滤的高频信号更少。

小结

卷积核$h[k]$决定了系统的“记忆长度”，SMA和WMA记忆有限（仅和窗口长度$N$中的数据有关），EMA理论上记忆是无限的，但实际上有效记忆长度为$3/\alpha$。

对于各个指标来说，卷积核越宽，平滑能力越强，但相位之后也越多，时间滞后越长。

指标	记忆长度	滞后
SMA	N	$\frac{N-1}2$
EMA	$\infty$	$\frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{N-1}2$
WMA	N	$\frac{N-1}3$

实际使用时应当结合多个指标共同研判。如果需要低滞后，选择WMA或EMA（大$\alpha$）,如果需要高平滑，选择SMA或EMA（小$\alpha$）。

技术分析应用

金叉/死叉

当短期MA（窄核）与长期MA（宽核）的卷积输出相交时：

金叉：窄核的响应速度更快，先捕捉到趋势变化，短MA上升穿过长MA

死叉：宽核的慢响应最终确认趋势反转，短MA向下穿过长MA

MACD

这一部分内容较多，留作后篇。

总结

本文中介绍了MA家族的三个技术指标：SMA、EMA、WMA的数学表示和信号处理原理，之后简单介绍了在技术分析中的简单应用，即金叉及死叉。三者在使用时需要注意滞后性和非预测性。